刘振国，田雅平，薛令荣
(1. 山西大学自动化与软件学院，山西 太原 030006；
2. 山西财经大学信息学院，山西 太原 030006)
在实际工程中，许多系统是非线性的且具有复杂的动态特性。鉴于线性系统理论和方法难以对此类系统进行有效地控制，近年来，非线性控制理论和方法受到广泛关注[1]。另一方面，时滞现象[2]和外部扰动[3]广泛存在于非线性系统中。它们会破坏系统稳定性能，影响系统动态响应，甚至给实际生产带来严重的危害。此外，系统还可能带有复杂的非线性增长条件[4]，并受到未知动态的影响[5]。研究复杂时滞非线性系统的鲁棒控制和仿真问题具有重要的现实意义。
目前，非线性系统控制已经取得了很大的进展。特别地，当系统不含有时滞时，文献[6]利用输出反馈控制方法，设计得到线性控制器，实现了对一类非线性系统半全局镇定。文献[7]结合动态增益缩放技术，设计了一个统一的线性控制器，确保了非线性系统全局镇定。当系统含有时滞时，文献[8]针对一类严格反馈非线性时滞系统，提出了一种基于Lyapunov-Kraso-vskii(L-K)泛函的反推控制方法，实现了系统的全局渐近稳定。文献[9]考虑了一类带奇数幂次的时滞高阶系统的镇定问题，结合齐次控制方法，设计得到了一种不依赖时滞的的输出反馈控制器。文献[10]考虑了含有未知参数的高阶时滞系统，在齐次控制策略的基础上，进一步设计了自适应状态反馈控制器。另一种控制方法是Lyapunov-Razumikhin方法。例如，文献[11]利用该方法研究了一类不确定非线性时滞系统的鲁棒镇定问题，利用反推设计方法，得到与时滞无关的状态反馈控制器。不过，在多项式增长条件下，如果时滞系统同时含有外部扰动和未知动态，相应的镇定控制问题仍然非常有挑战，至今也没有好的控制方法解决其镇定问题。文献[12]已经对几类受外界干扰或零动态影响的非线性系统的控制问题开展研究，并取得了一定的成果，不过这些研究未考虑复杂多项式增长条件。文献[13]虽然在多项式增长条件下给出了基于加幂积分方法的输出控制设计，但是该研究没有考虑时滞、外部扰动和零动态等情形。
基于上述的讨论，受文献[13，14]的启发，本文将研究一类时滞非线性系统的鲁棒镇定问题，在复杂多项式增长条件下，充分考虑系统零动态和外部扰动的影响。通过灵活构造地新的L-K泛函，并采用反推控制方法，递归地设计得到了状态反馈控制器。最后，对数值例子进行计算机仿真，验证了控制策略的有效性。
本文考虑如下时滞非线性系统
(1)
其中x=[x1，x2，…，xn]T∈Rn是可测状态，ξ∈R是不可测的零动态；
τ∈R+是系统的时变时滞；
u∈R和y∈R分别是控制输入和系统输出；
对于fi，i=0，1，…，n是未知连续函数。
本文的控制目标是：对系统(1)，利用状态反馈策略，设计了一个不依赖于时滞的鲁棒稳定控制器。为了实现这个目标，需要以下假设：
假设1：对于i=1，2，…n，存在多项式函数c(y)≥0和c(y(t-τ))≥0，使得
其中di(t)是有界的外部扰动，并以下列方式定义si：s1=1，si=si-1+a，i=2，…，n。
为了便于后续设计，本文将用到以下引理。
引理1[2]：对于正常数m，n，以及任意的x∈R，y∈R，a∈R，b∈R，不等式|axmyn|≤c|x|m+n+n/(m+n)(m/(c(m+n)))m/n|a|(m+n)/n|y|m+n成立。
引理2[14]：设0≤δ1≤…≤δn是实数，对于任意x∈R和cj>0，j=1，…，n，有
引理3：对于任意常数q≥0和a>0，存在常数r>q(1+(n-1)a)+a，使得
q+(1+jr)(sk+a)/sj+1≤1+kr
证明：首先定义M=(1+jr)(sk+a)/sj+1，则
为了使q+M≤1+kr，需要
sj+1(1+kr)-(sk+r+jrsk+jra)
≤sj+1(1+kr)-(sk+a)(1+jr)≤(sk+a)(k-j)r，
由于(sk+a)(k-j)r≥0，引理得证。
控制设计流程图如图1所示。
图1 控制设计流程图
(2)
根据假设2，可得
(3)
其中β0=k0c2。由假设1，及引理1-2，得
(4)
(5)
(6)
其中mk-1>0，Bk-1，j>0是常数。为了证明结论在这一步也成立，受文献[13]的启发，考虑泛函
(7)
由引理1，得
(8)
根据假设1，坐标变换及引理1-3，可以推出
(9)
(10)
且定义βk=βk1+βk2+βk3，mk=mk-1+mk1+mk2，及Ak=Ak-1+k0c1/(n+1)，Bk，j=Bk-1，j+2，将式(8)，(9)，(10)代入(7)可得
(11)
定理1：对于满足假设1-2的非线性时滞系统(1)，可以构造一个不依赖时滞的状态反馈控制器，保证闭环系统全局稳定。
证明：由函数Vn的定义，可知
(12)
其中cn=min{k0c1/c0(n+1)，2}，则有
Vn≤(Vn(t0)-mn/cn)e-cnt+mn/cn，
(13)
其中，t0是系统的初始时间。式(13)表明了系统状态ξ，x有界，意味着闭环系统全局稳定。
综上，证明完成。
例1：考虑以下非线性系统
仿真中，系统的初始条件为ξ(0)=1，x1(0)= 0.3，x2(0)=-2及参数τ=1。仿真结果如图2-4所示，可以看出系统所有信号都是有界的。
图2 ξ的轨迹
图3 x1和x2的轨迹
图4 u的轨迹
本文对于一类时滞非线性系统，考虑了多项式增长条件、零动态和外部扰动。通过构造新的L-K泛函，设计得到鲁棒控制器，确保了闭环系统全局稳定。一个更有意义的问题是，当系统含有不确定参数时，如何设计自适应鲁棒控制以实现闭环系统稳定。
猜你喜欢鲁棒控制时滞扰动Bernoulli泛函上典则酉对合的扰动数学物理学报(2022年4期)2022-08-22带有时滞项的复Ginzburg-Landau方程的拉回吸引子数学物理学报(2020年5期)2020-11-26(h)性质及其扰动数学物理学报(2019年4期)2019-10-10针对输入时滞的桥式起重机鲁棒控制自动化学报(2019年6期)2019-07-23漂浮基空间机械臂T-S模糊鲁棒控制厦门理工学院学报(2016年1期)2016-12-01小噪声扰动的二维扩散的极大似然估计贵州师范学院学报(2016年3期)2016-12-01基于高阶奇异值分解的LPV鲁棒控制器设计北京航空航天大学学报(2016年7期)2016-11-16基于干扰估计的高超声速飞行器鲁棒控制方法系统工程与电子技术(2016年4期)2016-08-24用于光伏MPPT中的模糊控制占空比扰动法电源技术(2015年11期)2015-08-22一类时滞Duffing微分方程同宿解的存在性应用数学与计算数学学报(2014年3期)2014-09-26