周敬人，王丽，郑浩森，全卫贞，黄日娣
差分方程是用来刻画自然和社会系统按照离散时间演化规律的重要数学工具.由于现代技术的快速发展，差分方程的理论知识在各个领域都有着大量的应用，比如，经济分析、生态、数学、计算机等领域都用到了差分方程理论.近些年，有理差分方程引起了广大学者的注意，其中对高阶有理差分方程解的性质的研究具有极高的理论和应用价值.因为其形式简单，所以常使人误认为简单；
事实上，对比有理差分方程，线性差分方程的求解理论相对成熟，但对有理差分方程的精确解却还在研究阶段.这些方程看似简单，但其解却展示出许多复杂的性质.近年来，学者们取得了诸多研究成果［1−6］.
陈云［1］研究了几类有理差分方程的解的渐近性，并给出了平衡解是汇点、源点、鞍点、非双曲点的充要条件.廖百安等［2］研究了一类有理差分方程的奇点集和解的渐近性，并根据方程系数的不同取值，得到不同的奇点集和解的不同性质.杨倩等［3］对一类特殊的三阶有理差分方程组的解进行了研究，给出了这一类有理差分方程组具有非零初值的公式解.陈韦韦［4］给出了一类含有二次项的高阶有理差分方程的奇点集及解的表达式，并讨论了该方程解的全局行为.ELSAYED［5］给出了求有理差分方程二、三周期解的新方法.SEDAGHAT［6］研究了一类二次项的二阶和三阶有理差分方程的全局行为.
本文将研究二阶有理差分方程
的解的渐近性，其中a，b，c∈R+，初始值x−1，x0∈R+.
考虑如下二阶有理差分方程：
其中：a,b,c∈R+，初始值x−1，x0∈R+.
定义1 称是差分方程（1）的平衡解，如果满足
定义2 由二阶差分方程
得到函数f(u,v)，令，称
为上述差分方程的特征方程，称此特征方程的根为特征根.
定理1［1］①若特征方程（2）两个根的绝对值都小于1，则差分方程（1）的平衡解是局部渐近稳定的.
②若特征方程（2）至少有一个根的绝对值大于1，则差分方程（1）的平衡解是不稳定的.
③若特征方程（2）没有模为1 的根，则差分方程（1）的平衡解为双曲的，否则称为非双曲的.
④若平衡解为双曲的，且特征方程（2）存在一个根的绝对值大于1，一个根的绝对值小于1，则差分方程（1）的平衡解为鞍点.
定理2［1］①若，则差分方程（1）的平衡解是局部渐近稳定的，且称为汇点.
②若|a1|>1，|a0|<|1 −a1|，则差分方程（1）的平衡解是不稳定的，且称为排斥点.
③若+4a1>0，|a0|>|1 −a1|，则差分方程（1）的平衡解是不稳定的，且称为汇点.
④若|a0|=|1 −a1|，则差分方程（1）的平衡解称为非双曲点.
定理3［7］（Routh−Hurwitz 判别法）
假设实系数多项式方程
于是其所有根具有负实部的充要条件是Δk>0，k=1,2,…,n，其中Δk是n阶矩阵
的k阶主子式.
定理4［7］（Schur−Cohn 判别法）
方程
所有的根具有负实部.
在本文，用差分方程的动力学定理、Routh−Hurwitz 和Schur−Cohn 判别法研究二阶差分方程（1）的解的渐近性.
先求差分方 程（1）的平衡解，令=.通过计算，可得差分方程（1）的两个平衡解为=0 和
定理5 ①若0
②若a>1时，差分方程（1）的平衡解=0 是不稳定的.
③若a=1时，差分方程（1）的平衡解=0 为非双曲点.
证明 考虑平衡解=0.
a0==fv(0,0)=0，可得特征方程λ2−aλ−0=0，特征根为λ1=0，λ2=a.
由定理1 可知，若0 若a>1时，一个特征根大于1，一个特征根小于1，所以差分方程（1）的平衡解=0 是不稳定的且为鞍点；
若a=1时，差分方程（1）的平衡解=0 为非双曲点.
从而可得特征方程
同理，解得
①当0
证明①考虑平衡解=0，由定理6 的证明过程已知其 特征方程为λ2−aλ=0，即p(λ)=λ2−aλ=0，则，可得关于z的方程
(1 −a)z2+2z+1 +a=0，从而可得a0=1 −a，a1=2，a2=1 +a.
由定理3，得二阶矩阵
此矩阵的两个主子式分别为Δ1=a1=2，Δ2=a1a2=(1 −a)(a+1)，由Δ1>0，Δ2>0 解得−1
所以当0
整理可得：
其中：a0=1 −a−2+2ab−a2b，a1=2a+(4a−8a+4a2)b，a2=3 −a+(−3+6a−3a2)b.
由定理3 得二阶矩阵如下：
此矩阵的两个主子式分别为Δ1=a1=2a+(4a−8a+4a2)b，Δ2=[2a+(4a−8a+4a2)b]·[3 −a+(−3+6a−3a2)b].
文章采用了差分方程的动力学定理、Routh−Hurwitz 和Schur−Cohn 判别法这两种不同的方法研究了二阶有理差分方程xn+1=的动力学性质，给出了平衡解是汇点、排斥点、非双曲点、鞍点的条件.
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