连俊勤，赵大方
(湖北师范大学 数学与统计学院，湖北 黄石 435002)
1960年，波兰数学家Opial[1]建立了下面的积分不等式：
假设f∈C1[0,h]满足f(0)=f(h)=0，且f(x)>0对任意的x∈(0,h)都成立，则
此后，Beesack、华罗庚、Agarwal、赵长健等对Opial不等式进行了不同形式的推广[2～5]。由于Opial不等式在微积分和微分方程等领域的重要应用，至今仍是不等式研究领域的热点。国内外学者对Opial不等式及其应用进行了广泛的研究，在右端系数的精确估计、连续型推广以及离散化推广等方面取得了丰硕的成果[5-10]。最近几十年，区间分析作为一种新的解决不确定性问题的方法被广泛应用，而且区间值函数的积分理论是区间分析的重要组成部分。近年来，一些经典的积分不等式被推广到区间值函数的形式中，诸如Ostrowski不等式[11]、Beckenbach不等式[12]、Chebyshev不等式[13]等。2019年，Costa等人[14]建立了区间值函数的Opial型不等式，获得了一些富有意义的结果，但其主要结论中不等式的右端系数并不是最优的。2022年，Zhao等人[10]进一步推广了文献[14]中区间值函数的Opial型不等式。在文献[10]和[14]的研究基础上，我们对区间值函数的Opial型不等式的右端系数进行了进一步的优化，得到了一些新的结论，所得结论也可作为进一步解决区间微分方程、区间差分方程以及模糊区间值函数不等式等相关问题的研究工具。
令Kc()是上全体有界闭区间的集合，Kc()={[r,对任意的A=[a,b,()，λ∈，区间运算规定如下：
A⊖B=C⟺A=B+C
即对∀A∈Kc()，有A⊖A=[0,0].但对于Kc()中任意两个不同的区间，其H-差不一定存在。为解决这个问题，2009年，Stefanini和Bede[16]引入了gH-差：
即gH-差对Kc()中任意A,B都成立，有
显然，(Kc(),d)是完备的度量空间，其中d为Kc()上的Hausdorff度量，对∀A,B∈Kc()，有
此外，易知(Kc(),+,·)为拟线性空间，其中拟范数为：
定义1 (Stefanini和Bede[16])
定义2 (Stefanini和Bede[16])
设x0∈(s,t)，p在x0处是gH-可导。
若x0在的任意邻域U内，存在x1 定理1 假设P,Q∶[s,t]→是[s,t]上的实值绝对连续函数，μ1,μ2≥2. 1) 如果P(s)=Q(s)=0，则 |(P(x))μ1(Q′(x))μ2|+|(Q(x))μ1((P′(x))μ2| )dx (1) 2) 如果P(s)=P(t)=Q(s)=Q(t)=0，则 |(P(x))μ1(Q′(x))μ2|+|(Q(x))μ1(P′(x))μ2| )dx (2) 证明 若P(s)=Q(s)=0，则 从而有 因此，我们有 同理可得 从而即证(1)式。 从而即证(2)式。 例1 若P(x)=x,Q(x)=x(cosx-1)为[0,1]上的实值绝对连续函数，μ1=8,μ2=8. (x)8·(cosx-xsinx-1)8+(x(cosx-1))8·18 )dx ≈0.36 ≈0.84. (3) 证明：根据范数的定义，有 由文献[10]中的引理3.1，我们有 再根据定理1的(1),我们有 结合上面的三个式子，我们有 从而即证(3)式。 (4) 证明 定理3的证明与定理2的证明类似，故省略。 (5) 从而即证不等式(5). 本文主要研究了关于区间值函数的Opial型不等式，推广并改进了一些单变量的关于区间值函数的Opial型不等式，为今后研究多变量的关于区间值函数的 Opial型不等式做了一些基础工作。 Further generalization of the Opial type inequalities for interval-valued functions LIAN Jun-qin，ZHAO Da-fang
