郑明军， 刘俊杰， 吴文江
(1.石家庄铁道大学 机械工程学院，河北 石家庄 050043；
2.石家庄铁道大学 教务处，河北 石家庄 050043)
低频振动与噪声对人们的日常生活有较大影响，低频振动会造成工具结构损坏，噪声则影响人的听觉，解决此类问题需要实现低频下振动噪声抑制。在追求轻量简化结构的基础下，局域共振型声子晶体因其可通过亚波长尺寸结构控制机械波的传递而得到了广泛的关注。Liu et al[1]提出了局域共振型声子晶体这一基本概念，在振动抑制形式上存在2种形式,一种为布拉格散射机制,一种为局域共振机制[2],布拉格散射机制具有一定的局限性，应用时所需材料尺寸较大，而局域共振型声子晶体能在小尺寸控制大波长的频率传导。D’Alessandro et al[3]对三维声子晶体正方形立体填充模型进行建模仿真得到三维模型的最宽带隙。Jiang et al[4]对正方形晶格的带孔局域共振型声子晶体带隙进行拓展，解决了局域共振型声子晶体的填充率大小不一的问题。Ma et al[5]将模态位移法应用到实际测量局域共振型声子晶体结构的传输特性研究中。Panahi et al[6]设计了2种连接形式的二维声子晶体并结合实物实验验证其带隙准确性。麻城榕等[7]针对汽车板件低频振动提出准二维声子晶体板，发现板振动模式与圆柱共振单元的局域共振模式相互耦合形成完全带隙。郭旭等[8]针对船舶设备及结构的振动噪声控制问题,合理设计一种附加圆柱型振子的声子品体板结构散射体几何参数及布置形式，实现结构的低频宽带隔振及宽带隔声。徐俭乐等[9]将声子晶体结构应用到双层夹板中，对其隔声特性进行研究，获得在指定范围内具有优良隔声性能的夹板层结构。何宇漾[10]研究设定在不同位置下附加声子晶体结构时的降噪效果，对比相应点声压级的方式获得最佳布置点。谭自豪等[11]将球型柱结构引入声子晶体中进行研究,通过分析特殊点位的振动模态获得振动机理。
上述文献研究内容提出了不同几何结构的声子晶体模型，分别应用在不同的研究领域进行隔振降噪处理。现针对板类结构面内低频振动噪声问题，提出一种内嵌式局域共振型声子晶体板结构，建立等效弹簧振子模型进行分析并使用有限元法计算验证，阐述该模型工作机制，改变结构的材料、几何特性研究对隔振降噪特性的影响，为实现在低频下抑制振动噪声的声子晶体板结构研究提供依据。
1.1 局域共振型声子晶体板模型
局域共振型声子晶体的工作机制依赖于局域共振单元的共振特性，因此只需研究单胞结构即可[12]，单个声子晶体板结构及其横截面如图1所示，结构主要为铜散射体穿透树脂板结构并由橡胶包覆，在上下两方添加圆柱形散射体，板结构存在8 mm×20 mm的矩形缺陷以及直径为d1的孔缺陷，图1中a为晶格常数，板厚度为h1,上方散射体高度为h2，橡胶高度为h3，中心散射体半径为r1，橡胶半径为r2,上散射体半径为r3，l1以及l2为板结构上矩形空缺的长度以及宽度。图2为基本结构优化后结果，即上方金属柱向外向下延伸，在外部金属柱板结构之间以橡胶相连，并以矩形缺陷为分界搭建外部橡胶的角度为θ，延伸金属总高度为h4,连接橡胶高度为h5，橡胶材料参数以及几何参数如表1和表2所示。
图1 单胞基本模型及横截面图
图2 优化模型及横截面图
表1 基本材料参数
表2 几何参数
1.2 振动分析
二维局域共振型声子晶体板结构可转换为弹簧振子等效模型[13]，带隙的起始点及截止点的振动模式简化为图3所示模型。图3中m1为振子质量，m2为基体的等效质量，k为包覆层所代表的等效刚度，在此模型的带隙起始点如图3(a)所示，m1在弹簧k作用下发生共振，使此频率范围的振动被抑制，在带隙截止点如图3(b)处所示，m1与m22个质量在弹簧k的作用下发生共振，此频率范围下振动正常传递。图4所示等效横截面中以金属芯边界切线为分界线，分离弹簧振子及基体。设铜芯质量为mcore,基体的质量为mhost，两者的质量表示为
(1)
图3 等效弹簧起始点及截止点振子模型
图4 等效横截面
包覆层质量在计算等效刚度K时不能被忽略，因此如图4所示的橡胶质量按照比例进行分配,为A、B2个区域，区域B部分橡胶主要随基体振动，可得关系式
(2)
将表1和表2中参数带入式(1)及式(2)计算可得m1=0.63,m2=0.12，计算等效刚度k,则认为仅有A区域的橡胶包覆层起主要作用，在A区域将橡胶划分为垂直方向上细直条，整体等效刚度为各个长条结构并联，等效刚度k表示为
(3)
式中，C11=λcoating+2μcoating，λcoating为硅橡胶的第一拉梅常数，μcoating为硅橡胶的第二拉梅常数，依据式(2)、式(3)计算公式计算所得，带隙结构的起始频率及截止频率为
(4)
将表1及表2的参数带入式(4)中可计算出带隙起止点频率，对比2个点,分别算出的特征频率值，可通过有限元法证明所计算模型的正确性,其中算出f1及f2分别为83.58、194.49 Hz。
为了验证理论模型结果，采用有限元法对模型进行仿真计算，该方法基于有限元软件Comsol Multiphysics进行计算，选择固体力学物理场进行研究，研究中选择特征频率栏，建立几何模型，选择并定义好各部分模型的材料几何参数。在固体力学模块选择Floquet周期性边界条件，将边界条件添加至原胞相邻界面边界即基本模型面的x及y方向上，即图4所示方向，那么其周期性边界条件函数则被定义为
(5)
式中,a为声子晶体板结构的原胞尺寸;k为不可约布里渊区的波矢，在设置边界条件后对声子晶体板结构进行网格划分，选用的是常规网格大小的类型进行描绘，形成了包含有限个节点所连接的单元结构，此时原胞内部的特征方程为
(K-ω2M)U=0
(6)
式中,K、M分别为刚度以及质量矩阵；
U为节点位移，在Comsol有限元软件中添加特征频率进行研究，选定参数化扫描的步长，将波矢k沿着不可约布里渊区即图5所示的对称边界进行扫描，路径为M→Γ→X→M方向，获得其特征频率绘制出的带隙图如图6所示，带隙起止点为C点及D点所在频率，基本模型采用的散射体为铜，基体为环氧树脂板，中间包覆层为硅橡胶，计算出带隙起止点频率分别为89.38、188.40 Hz，与理论计算结果相符，说明理论分析的合理性。
图5 不可约布里渊区图
图6 基本模型带隙结构图
局域共振型声子晶体板结构抑制振动机理与传统二维结构相似，如图6所示，C点为带隙起始频率89.38 Hz，基体中的弹性波传导至C点频率时，散射体以及包裹层平移运动构成主体振动模式以抵消源于基体的弹性波振动，D点为带隙截止频率188.40 Hz，此处存在基体以及包覆层的振动，即等效质量m1及m2两者在包覆层的影响下以相对振动的方式运动，将基体中的弹性波相互耦合抵消。
2.1 散射体材料分析
为获得低频宽带隙的声子晶体结构，更改散射体材料得到在相等几何条件下带隙起止点变化图，如图7所示，不同的金属材料对带隙的影响表示为起始频率各不相同，在截止频率处差距较小，截止频率受基体及包覆层影响，相较于散射体的杨氏模量，密度对起始频率的影响较大，金属密度越大产生的等效质量越大，等效弹性系数没有发生改变，在同等几何条件下金属钨的带隙起始频率非常低，而截止频率与同组内其他金属散射体相差较小，因此采用金属钨进行几何参数优化。
图7 散射体材料影响
2.2 几何因素影响
在散射体为金属材料钨的前提下，为了验证几何参数对带隙特性的影响，将几何参数进行调节分析，在每个几何调节中计算出几何调节参数，选用最优参数进行后续计算，如图8(a)所示，板厚度h1的增加使起始频率与截止频率之间带隙宽度不断减小，且起始点频率随之上升，当板为14 mm厚度时起始频率为72.22 Hz,截止频率为179.83 Hz，从2 mm递增至14 mm处其等效质量m1不断减小，等效刚度K不发生改变，等效质量m2增加，因此低厚度板符合低频宽带隙的要求，使用2 mm板厚度、散射体为钨的结构研究对带隙的影响。同时板上小孔结构扩大直径时等效质量m2减小，但在板上不能无限扩张，因此8 mm直径孔结构即能获得较好的效果,此时的带隙在26.47～262.23 Hz之间。
在板与包覆层之间连接矩形的参数上设定长度变化分析，图8(b)中表明长度从5 mm增加至35 mm的同时，声子晶体板与包覆层的接触面积不断减少，等效质量m1减少，而m2增加，m1减少速度不及m2的增加速度，因此起始点频率以及截止点频率均下降且带隙宽度不断减少，引入变量带隙差值为2个带隙宽度之间的对比差值，在15 mm处带隙差值较小为19.13 Hz，与起始点频率变化较小的点相交，因此选用15 mm矩形长度进行后续计算，在15 mm宽度下形成21.24～436.42 Hz的振动抑制带。
图8 板厚度及板矩形宽度影响
图9分析了板结构中心填充率的影响，以填充半径表示填充率的变化趋势，随着填充半径增加，起始频率、截止频率以及带隙宽度都不断增加，但起始频率增加幅度较小，带隙宽度及截止频率的变化呈现与板厚度增加相反的状态，在28 mm半径即晶格大小为60 mm、中心圆孔直径为56 mm的情况下达到最优效果。上方散射体钨直径的扩大等效于增加散射体质量，此时上方钨散射体作为附加质量进行计算。在保证此结构的周期性、与其他单胞结构产生一定的距离且与下方结构分离开的前提下，采用29 mm外径并向下延伸，形成延伸钨结构。
图9 中心填充半径影响
延伸钨结构等效于增加散射体的质量，延伸钨结构为一个厚度1 mm的圆环，其高度不断增加的同时，带隙小幅度的上升，当延伸钨延伸至板平面时与平面发生固接，无法形成带隙结构，从图10(a)可以看出，在12 mm处延伸钨结构逐渐接近于板结构的上表面，此时频率为21.29～472.38 Hz。
对于延伸钨结构下方连接的橡胶体，未添加底部橡胶时，上方金属散射体仅作为附加质量，添加底橡胶后，橡胶与上方金属散射体形成弹性结构，对一定范围内的振动进行抑制。当橡胶的高度不断向上延伸，圆环形结构受板平面的作用越小，隔振效果减弱，在高度为2 mm时产生最佳效果,见图10(b)。
图10 延伸钨及加底橡胶结构
3.1 振动衰减特性
对最优参数声子晶体结构扩展分析隔振能力，使用有限元软件Comsol固体力学模块进行基本模型、优化模型振动衰减能力研究，将模型单胞设置为3×7周期性排列板结构，横向延伸一个晶格大小板结构组成激励端及相应端，对于进行试验的结构来说，需要在板的三端均分处添加支撑以维持结构稳定，如图11上方示意结构，在基本模型及优化模型平面X、Y边界上添加Bloch周期性边界条件，在板的两端添加完美匹配层使其有效吸收向外传输的弹性波，减小此因素对隔振效果影响，在板结构的两端分别为拾取端及激励端，在激励端边界位置施加垂直于板平面向上的单位平均位移，拾取端获取位移激励经过板结构后的响应，两者作为传输特性曲线的参考值，传输特性曲线表示为
(7)
式中，EI为输入端激励；
EL为输出端响应。
如图11所示，在0～400 Hz之间设置5个单位的频率间隔步长，不仅在带隙范围89.38～188.40 Hz内振动的传输得到较好的抑制效果，同时在带隙范围外存在方向带隙形成具有振动抑制的效果，在135 Hz处振动衰减的效果最佳且下降幅度最大，而在180 Hz处对振动衰减的能力弱甚至无法隔振。
图11 基本模型振动衰减曲线
如前文所示方法对优化模型进行传输，优化板模型在22.53～728.67 Hz的频率范围具有较大幅度的振动衰减，在720 Hz处振动衰减能力降低。如图12所示,振动衰减频率随带隙范围扩大,同时在进行优化后，可看出在振动衰减的量上,优化板具有着超过基本板结构的趋势，但同时在170 Hz左右也产生了不及基本板结构的隔振效果，200 Hz时优化板结构的振动衰减量达到最大为169 dB,相较于基本板最优振动衰减量提升30 dB左右，相似于基本板结构，优化板中也存在着部分振动频率的振动衰减量不足的现象，这是由于设置精度以及计算数量所导致的。
图12 优化模型振动衰减曲线
3.2 隔声降噪特性
基于振动结构进行隔声能力分析时，采用声-固耦合模块计算获得隔声特性曲线及声压级云图。考虑到隔声量计算不能将有孔结构带入计算中，因此去除模型的孔以及中心矩形结构后如图13所示，计算基本模型及优化模型去孔结构的带隙范围分别为：89.97～203.12 Hz、26.62～668.02 Hz。
图13 去孔隙单胞结构
为分析计算基本模型、优化模型隔声量,模型按照传输损耗的形式建立，模型上下方添加声腔结构，下方声腔为背景压力场，声压从下方入射上方拾取，计算公式与振动衰减特性相同，在上下两端添加完美匹配层(PML)，在模型四周设置周期性边界条件进行计算。隔声降噪需要将其他频率下的工作情况纳入考虑，因此设定计算范围为频率0～1 000 Hz内的隔声量的影响。
从图14所示隔声曲线得知，右侧声压级大小从下到上依次增大，在10～1 000 Hz之间的振动频率下，基本板隔声量呈抛物线型增加趋势，最终趋向于39.53 dB左右的隔声量，而优化板在较低频率20 Hz处产生的隔声量虽不及基本板，但在后续振动频率下形成非常优异的隔声效果，从图14可看出基本板与优化板在低频范围下就能产生较好的隔声性能。
图14 板结构隔声曲线
在40 Hz处优化板产生了优于基本板的隔声效果，选取该点位声压级云图可看出，经过优化板之后的上方声腔结构中其声压级近乎接近于15 dB以下，在110、580、630、720 Hz处产生了隔声谷，同样在220 Hz处基本板结构产生首次较大隔声量。
从200 Hz基本板隔声谷处声压级云图得知，在此频率下的声压级云图在声腔内不能有效形成该频率下的声音隔离，即声压穿透板结构后未能有效被隔离，从上述内容可以看出优化后板结构比优化前板结构能够实现更加低频的隔声。
针对低频振动噪声的问题，设计了一种内嵌式局域共振型声子晶体板结构，利用弹簧振子模型计算了声子晶体结构的带隙，使用有限元法计算能带结构图验证理论计算，在基本结构上改变几何及材料因素获得低频宽带隙，建立周期性阵列结构分析优化前后振动传输特性，建立无孔隙模型分析隔声量差异。主要得出以下结论：
(1)局域共振型声子晶体板结构所计算的等效弹簧振子模型与有限元法计算结果相符，说明板结构工作机理与散射体及基体之间的共振耦合相关。为实现低频宽带隙要求，研究板结构的材料几何参数对带隙的影响，结果表明,金属钨对低频宽带隙影响效果最优，减小板的厚度、增大中心填充率、添加延伸钨加底橡胶能够实现低频宽带隙要求。
(2)经板结构优化后对比，隔振特性及隔声量随着带隙范围的增大而增大，优化板有限周期结构实现带隙范围内的振动传输禁带，同时优化板在带隙范围内外形成较好的隔声效果，相比于基本板结构有着极大的提升。
研究可为实用型声子晶体板结构提供理论依据，对解决生活中低频隔振降噪问题提供了一种新的参考。
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